整理了一些关于实变函数论诞生的数学史, 基本整理自kline的古今数学思想Ch.40,44,47, 再加上一点自己的私货

Picard: 如果Newton和Leibniz想到过连续函数不一定有导数, 那么微分学就绝不会被创造出来.

实变函数的建立基于以下两朵乌云(大雾)

【资料图】

1.如何理解19世纪一系列奇怪的发现

连续而不可微的函数, 不逐段单调的连续函数(Weierstrass的著名反例) , Peano曲线

具有有界但不Riemann可积的导数的函数(Volterra函数)

连续函数的级数和函数未必连续(Abel给Cauchy举的例子, 因为Cauchy在自己写的教程里混淆了现在被称为逐点收敛与一致收敛的概念)

可积函数列的(逐点)极限未必可积

2.Fourier级数理论中函数和级数的关系

比如函数的Fourier级数何时收敛到函数自身, Fourier级数唯一性, Fourier级数能否逐项积分等等

与分析严密化运动的联系

这些问题的研究与解决除了直接产生了实变函数这一数学分支外, 本身也代表着分析严密化运动的推进. 顺便一提, 分析严密化运动的另一重要推手是关于在Cauchy和意义下发散级数的研究, 这个研究对于Fourier级数理论也有十足的价值, 比如Fejer关于Fourier级数的Frobenius和的结果, 所加的条件是当时最弱的使得Fourier级数收敛到函数本身的条件. 

这些奇怪函数的奇怪性质的研究在当时是颇有争议的

比如Reymond, Poincare, Hermite等人都很尖锐地表达质疑. Hermite在给Stieltjes的信中直言不讳道: 我怀着惊恐的心情对不可导函数这种令人痛惜的祸害感到厌恶. 颇有种Pauli炮轰Higgs机制的发现前的Yang-Mills理论的感觉. 对于发散级数的研究也是类似的, Abel也在给别人的信中说: 发散级数是魔鬼的发明. Cauchy在自己的教程引论中说: 我曾被迫承认各种各样有些不幸的命题, 比如发散级数不能求和.

时间来到19世纪80年代

Riemann积分(或者该称为Riemann-Darboux积分)理论的严格化已经充分完成, 以至于当时人们普遍认为Riemann积分不能再推广了. 虽然Riemann积分理论在推广到高维时也有一些不至于被称为"乌云"的问题. 比如Cauchy意识到被积函数不连续时, 累次积分的计算次序对于计算结果是有影响的. Thomae给出了累次积分其中一个存在, 但另一个不存在的例子. 但二者的例子中被积函数的二重积分不存在. 之后Reymond证明即使二重积分存在, 累次积分也未必存在. 关于这些问题的研究最有意义的推广也归功与Lebesgue.

Stieltjes对Riemann积分的首次推广

然而关于Riemann积分的第一个推广, 很快就到来了, 虽然动机和实变函数没有关系, Stieltjes实际是在研究发散级数的连分数展开. 1894年Stieltjes发表了一篇关于连分数研究的论文, 引入了现在被称为Riemann-Stieltjes积分的概念. 

用现代的说法讲, 这是一种关于单增函数的广义导数定义的Lebesgue-Stieltjes积分(这部分的工作属于Radon), 在广义函数论的视角下, 广义函数是单调增函数当且仅当其一阶广义导数是非负Radon测度. Lebesgue-Stieltjes积分对于概率论是很有意义的, 比如我们可以将对随机变量的分类问题转化为对由分布函数诱导的Lebesgue-Stieltjes测度的分类问题. 称随机变量是离散型(绝对连续型)随机变量, 若其分布函数对应的Lebesgue-Stieltjes测度关于计数测度(Lebesgue测度)绝对连续. 

此外根据实数集上正则Borel测度的Lebesgue分解定理, 还有一种关于Lebesgue测度singular continuous的测度, 比如cantor测度. 所以任何一个随机变量总是这三种随机变量的组合. 在随机过程中也有对应的推广, 即关于Levy过程的Levy-Ito分解定理. 绝对连续型对应的部分是Brownian motion, 离散型对应的部分是复合Poisson过程, 奇异型对应的部分是平方可积的 pure jump martingale. 

回到Stieltjes的工作本身, 他提出的Stieltjes积分并没有得到重视和采纳, 因为发散级数求和的问题还处于argue的阶段. 当时一方面研究发散级数求和的动力是解析函数理论中幂级数表示范围的延拓问题, Frobenius和以及Cesaro和(与之等价的Holder和)的概念都是从中而来; 另一方面的动力则是直接来自于Stieltjes关于连分数的研究. 在Borel将二者结合后得到的令人颇为满意(性质很好, 可以直接应用到微分方程中去)的发散级数理论后, Stieltjes的工作才算是得到了普遍承认. 

早期的容度和测度理论

推广黎曼积分的另一条路线就是Lebesgue积分的想法. 在Lebesgue之前, 一些数学家已经意识到了函数不连续点集的"大小"决定了函数的可积性. 其中比较有代表性的关于容度理论工作是Peano和Jordan的工作, 他们的工作本质有别于Reymond, Stolz和Cantor的工作的一点是, 二人的容度理论是满足有限可加性的. Jordan关于容度的工作也是现在数学分析教材里"面积"定义的基础, 因为其建立Jordan容度理论的出发点就是想搞清楚平面上的二重积分理论. 在Jordan容度理论的基础上, Borel引入了测度的概念并证明了(Lebesgue)测度大于0的集合是不可数的, 但是并未应用到积分理论中. 

从现代的观点看容度理论和测度理论的区别仅仅在于可加性的强弱, "有限"vs"可数". 但是至少在某种意义下, 可加性并不是容度or测度理论的本质. 比如Choquet注意到实数集上测度的内正则性与测度的可加性没有本质的联系, 而是与关于单调集列连续的性质有关. 这直接促成了Choquet容度理论的产生, 与之相关的一个可能很多人都听说过的问题(或者说有名的伪证), 即Borel集的投影是否仍为Borel集, 该问题否定的回答得益于关于解析集的研究. Choquet证明了著名的Choquet容度定理, 即解析集都是可容的. 作为其推论的是完备概率空间的解析集都是可测的(实数情形的结果由Suslin给出, 并且证明了存在非Borel集的解析集). 更进一步的推论是关于随机过程理论的很多奠基性的结果, 比如最基本的关于可测性和停时的结果: 可测集的初遇是可测函数, 循序集的初遇是停时;可测过程的Borel首达时是可测函数, 循序过程的Borel首达时是停时. 以及关于截口的可测性.

Lebesgue的工作

作为Borel学生的Lebesgue, 在Jordan和Peano的思想以及Borel的测度论的基础上, 于1902发表了可以说是代表实变函数诞生的论文"积分, 长度与面积". Lebesgue测度理论直接推广了Jordan容度理论(Jordan可测集都是Lebesgue可测集)和Borel测度理论(添加了0测集, 即完备化), Lebesgue也意识到了不可测集的存在. Lebesgue也给出了可测函数和Lebesgue积分的定义.证明了Lebesgue积分推广了闭区间上Riemann可积函数的定积分以及有界函数是Riemann可积的充分必要条件是不连续点是0测集. 

Lebesgue积分理论极大地改进了诸多数学分析和Fourier分析中的经典结果. 

比如(均为Lebesgue本人给出的结果)

1.可以在不假设和函数可积性的前提下对极限和积分换序.

2.可以在不假定有界的前提下证明Riemann-Lebesgue引理.

3.有界函数如果有三角级数表示, 那么系数就是Fourier系数.

4.可以在不假定一致收敛性的前提下对Fourier级数逐项积分.

5.改进Parseval定理.

6.微积分基本定理对于有界变差函数未必成立, 这直接促成了Vitali关于绝对连续函数的研究.

7.推进多重积分理论使得能用累次积分计算的函数范围扩大了, 但这方面较好的结果属于Fubini.

8.定义了由local可积函数诱导的符号测度, 并证明了这种情形下的Radon-Nikodym定理, 这实际上是一元不定积分的高维推广. 在一元的情形下, 不定积分与求导数互为逆运算, 但是从高维的视角来看应该这么说: 一元不定积分和求对称导数互为逆运算; 不定积分和求密度互为逆运算.    

Lebesgue的贡献无疑是伟大的并且最终得到公认的(虽然花了好几十年), 但在当时一些数学家以"我们是在讨论有导数的函数"或者"我们在讨论有切平面的曲面"为由拒绝与Lebesgue进行数学讨论, Hermite也曾试图阻止Lebesgue关于不可微曲面的研究的发表.